Все мы, закончившие среднюю школу, не раз сталкивались с математическими моделями, поскольку все науки, использующие математику, по сути, занимаются математическим моделированием. Они (науки) заменяют объект исследования его математической моделью, т. е. описывают его, как правило, некоторыми уравнениями, а затем изучают эту модель, решая и исследуя эти уравнения, и тем самым определяют и свойства, и поведение изучаемого объекта.
Пожалуй, самой первой, широко известной победой математического моделирования является открытие «на кончике пера» в 1846 году французским астрономом Леверье планеты Нептун. Положение Урана существенно отличалось от предсказанного математической моделью, на основании чего Леверье сделал предположение о наличии ещё одной планеты в Солнечной системе, которая и искажает орбиту Урана. И не только сделал, но и вычислил местоположение этой, пока ещё гипотетической, планеты. И именно в предсказанной Леверье точке неба в течение одной ночи неизвестная планета была обнаружена!
Велико и чисто практическое значение математических моделей. Например, модель течения вязкой ньютоновской жидкости. Воды, в частности. Описывается эта модель уравнениями Навье-Стокса — системой дифференциальных уравнений в частных производных, названых по имени француза Анри Навье и англичанина Джорджа Стокса (начало XIX в).
Парадоксальность ситуации с уравнениями Навье-Стокса состоит в том, что до сих пор не найдено их аналитическое решение, т. е. решение, выражаемое формулами. Более того, до сих пор неизвестно: а существует ли такое решение вообще. Нельзя не сказать, что в январе 2014 года казахский математик Мухтарбай Отелбаев опубликовал статью, в которой утверждает, что нашёл полное решение проблемы, проверка результата международным сообществом осложнена, увы, тем, что работа написана на русском языке... А в феврале того же года лауреат Филдсовской премии Теренс Тао опубликовал препринт, в котором утверждается невозможность решения «проблемы тысячелетия» существующими на настоящий момент средствами.
Замечу, что решение уравнений Навье-Стокса — это одна из семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя назначил премию в 1 млн. долларов США. Для получения премии необходимо доказать или опровергнуть существование решения любой из этих проблем.
Как же быть, если аналитическое решение неизвестно (или вообще не существует)? В этом случае можно использовать, например, численное решение. Численное решение — это заведомо приближённое решение, однако допускающее оценку точности. Например, если бы мы численно решив уравнения Навье-Стокса для паводковых вод, получили, что глубина воды на затопленном участке составит 1,15 м, с точностью 5 см, это следовало бы понимать так: на самое деле точное значение глубины воды нам неизвестно, однако оно гарантированно лежит в пределах от 1,10 м до 1,20 м.
Другое широко обсуждаемое ныне научное направление — это нанотехнологии. Одной из главных задач в этой области науки является нахождение равновесной формы металлических наночастиц в зависимости от их элементного состава, т. е. формы частицы катализатора, при которой происходящая на ней химическая реакция, например, дожигание угарного газа в каталитическом конвертере автомобиля, течёт оптимальным образом. Такие задачи можно решать хорошо развитыми численными методами молекулярной динамики, однако для этого требуются вычислительные ресурсы, превосходящие возможности современных суперкомпьютеров в тысячи раз. И из этой ситуации математическое моделирование даёт выход — использование эмпирических алгоритмов.
Эмпирические методы решения основаны на «здравом смысле». Мы не можем доказать, что такой метод даст верное решение, однако у нас нет причин в этом сомневаться. Эмпирические методы, как правило, являются формализацией природных процессов, приводящих к хорошо известным нам результатам. Например, процесс естественного отбора. Формализуя процесс естественного отбора, получаем так называемые генетические алгоритмы. Применяются они, как правило, для поиска оптимального решения.
Генетический алгоритм имеет следующий вид: формируется популяция, т. е. множество возможных решений. Каждое из таких решений называется особью. Далее повторяются процессы скрещивания, мутации и отбора до тех пор, пока мы не получим удовлетворяющее нас в каком-то смысле решение (особь). Скрещивание происходит так: случайным образом выбираются пары особей, от которых получается потомок, т. е. решение, наследующее общие свойства родителей. Поскольку общих свойств у родителей скорее всего окажется меньше, чем всего свойств, определяющих особь, оставшиеся свойства потомка добираются случайным образом то от одного, то от другого родителя. Мутация: некоторое небольшое количество особей подвергается малым случайным изменениям. Отбор: из всей популяции (включая и родителей, и потомков) отбираются и уничтожаются самые «плохие» в каком-то смысле особи. И процесс повторяется заново.
Генетические алгоритмы достаточно просты и их программная реализация доступна даже учениками средней школы, конечно хорошо подготовленным. Отметим, что решаемые генетическими алгоритмами задачи вполне актуальны, как в научном, так и в практическом плане: от поиска равновесной формы частиц металлического катализатора до оптимальной прокладки оптоволоконного кабеля.
Таким образом, математическое моделирование сопровождает нас повсюду: от планирования семейного бюджета до построения модели движения паводковых вод и нахождения оптимального состава катализатора.
Михаил КРАСИЛЬНИКОВ,
научный сотрудник лаборатории
Математического моделирования ТувИКОПРа СО РАН